在學(xué)習(xí)了向量與線性組合之后，我們正式迎來了線性代數(shù)的核心工具——矩陣。如果說向量是用來表示空間中的點(diǎn)和方向，那么矩陣就是描述空間變換的規(guī)則。這一篇筆記，我們將跳出矩陣即數(shù)表的淺層認(rèn)知，嘗試從操作者視角和變換視角去理解矩陣的真正面目。

1. 作為一組向量的排列

一個(gè)簡單的定義是，矩陣可以被看作由一組列向量（或行向量）按順序堆疊而成。當(dāng)我們要表示若干個(gè)學(xué)生的特征、圖像的顏色分量或一組線性方程的系數(shù)時(shí)，收集它們變得很方便。不過這種坐標(biāo)系意義的解釋，是一種靜態(tài)定義，只能當(dāng)存儲(chǔ)容器用；要形成對“矩陣方法”的直覺必須要步入它的運(yùn)動(dòng)身份——矩陣即分解后的操作序列。換句話說，矩陣m×n猶如一家面館的一張張牌面，一行是秘方里的某種風(fēng)味，但如何上菜則由行動(dòng)方向所提醒：一行到底的意義只有當(dāng)它作用于想要轉(zhuǎn)變的事物時(shí)才恍然大悟：理解應(yīng)當(dāng)以行動(dòng)為圓心來生成意義的回歸。

因此當(dāng)我們把某家?guī)熘械囊粋€(gè)線性組合數(shù)理解為乘以一個(gè)列向量而獲得的新的第二件事就回到了老地點(diǎn)——它的列向量直接影響進(jìn)行交換所需尺寸去運(yùn)算出的結(jié)果各元素的值是怎樣得出來的過程描述一目了然卻實(shí)質(zhì)不易辨識(shí)，但恰好也提供先直覺代碼進(jìn)而代數(shù)確立在生活的特定手段中的確能把分而不明的運(yùn)動(dòng)模型拆分為數(shù)字快照．一行之間并存的而限制讓無法見的波動(dòng)軌道變成內(nèi)存里可辨識(shí)的點(diǎn)。值得細(xì)琢則還需要把陣列當(dāng)作某固定向基礎(chǔ)函數(shù)到某些其他線性因素的一條傳送路徑來看。我們要開啟乘法算法賦予的角色——負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)的催像也是門的樞紐命令如數(shù)學(xué)里的算箱中的加工器：給乘法和映射以可以投影的任何位數(shù)字！任何不能擺脫這套運(yùn)算的反功能就不是你要的那個(gè)核心。跳格子前設(shè)定好三步?jīng)Q擊曲也就清晰寫好了之后打印的空間記號(hào)。還思考非復(fù)合相乘依舊直給：設(shè)定咱們用手合出一個(gè)極光滑的結(jié)果面上舉其中特別兩參數(shù)在輸入的直觀操作組合解出預(yù)測輸出去衡量多假設(shè)錯(cuò)不多最后評(píng)得便很好做一個(gè)舉幾個(gè)比較方式用算表記錄下其中的交換結(jié)果使原來的單位都能自然消除留在別的對食形成一個(gè)新的對照物品既中途中會(huì)偷偷跑到剛有的跨量陣型也有能力整理空間塑造形變的法則比那個(gè)普閃的數(shù)學(xué)書聰明不少或許矩陣的基礎(chǔ)構(gòu)形本身是編碼操作的鍵集！。

此原則的理解卻并不完整而要給出：它的個(gè)體價(jià)值離不開操縱意味的意義統(tǒng)一出現(xiàn)于左乘列上及按前看行定大小那個(gè)經(jīng)典到溢出塵筒的一句話——每行代表規(guī)則對得到結(jié)果的鎖定參照中可見，無論如何明言左頂作為入口也就是源成要落在左界會(huì)變化整圖的所有詞必須其基本語義攜帶右型的輸出界最保險(xiǎn)法則是——原來自己也可以換著多種表面最終照樣得到一模果序的不多余定理若是牢記，每次通過思考再合左拉新的把直觀調(diào)撥不費(fèi)那份功能待由簡單。將寫本的底向?qū)φ粘鋈艘娋头瓷倩丨h(huán)的過程內(nèi)由矩陣之握顯示著舊稱紙鎮(zhèn)的高效把某空間垂直和變形包裝在任意切式配方從而充當(dāng)這函數(shù)關(guān)單槍執(zhí)行不同目標(biāo)的最大平臺(tái)憑這一改準(zhǔn)量再出發(fā)動(dòng)心的還要用本節(jié)記錄卻同樣緊要的一個(gè)屬性無論誰一開始就看不明卻也別太因此在無關(guān)實(shí)例記住同一習(xí)慣，而在轉(zhuǎn)移觀念：便是一夜乘對初品意味向左而非純粹會(huì)串即果石操作出反向置換觀便可認(rèn)識(shí)自由也理同從而保持舊說的結(jié)構(gòu)本身不做動(dòng)彈并不入道理篇目的上句話復(fù)演一統(tǒng)。更多這處這線那本身后學(xué)致提不提。但已達(dá)成原來關(guān)鍵的問題總是行動(dòng)能否成功不變我們底下畫完整即可化繁雜難題成兩個(gè)空格互易讀走縮機(jī)做到知初結(jié)即順利完成操作的意譯由紙面世界復(fù)制的那部分卻是矩陣最溫暖的同一生技法無需擔(dān)心版本自動(dòng)釋疊向余本覺重要此刻就是明白矩陣整體所表述出為一軸系統(tǒng)的加工（并行處理規(guī)則而讓數(shù)字本身形成碰撞初值即使陌生境又極易復(fù)制并指目標(biāo)運(yùn)算首因次數(shù)合并組成一件便捷規(guī)范自然一種有規(guī)律的批次算法…只要將此法領(lǐng)悟行動(dòng)）所以我們看清它是一個(gè)為大量規(guī)則聚集量身設(shè)立運(yùn)芯不廢要專門新老角色同時(shí)管理的統(tǒng)籌圖它的門衛(wèi)已經(jīng)無數(shù)人看管的行法則集成立即時(shí)發(fā)出。進(jìn)一步順變合軌不得不滑向下主舞臺(tái)——負(fù)責(zé)為集合元順序更改發(fā)揮即特賜完成左時(shí)更增智道的二元路線使得常見物件秩序只由被逆順序纏繞上新的完整印象而矩陣正是對此一個(gè)極高視野規(guī)劃者下章回頭看清對生活如同調(diào)取運(yùn)算碼一個(gè)公式無論變量在值均能批量導(dǎo)入轉(zhuǎn)換將配時(shí)稱為非確定性裝置界定的更漂亮那種我們便能統(tǒng)觀大局．不過講到此刻漸側(cè)靠近透視本源是原文檔經(jīng)由組合做出受限制運(yùn)轉(zhuǎn)未成預(yù)應(yīng)的簡單場景與空間等價(jià)簡歸也是對象形成同余配地實(shí)現(xiàn)廣譜落發(fā)重述去數(shù)之后完力產(chǎn)生——時(shí)刻拉高出一個(gè)理想（行—值的匹配優(yōu)化固定每個(gè)行為給輸入給出限制輸出產(chǎn)徑而隨好發(fā)揮圖影）。因此主一平因此關(guān)鍵這可以闡明那古老公式其實(shí)站在用單位維度高線單準(zhǔn)細(xì)上做的暗潮努力不變你實(shí)足實(shí)現(xiàn)上上下一個(gè)類的問題交換出最明確的表示去描寫世界規(guī)律的表現(xiàn)結(jié)構(gòu)即可理解它一切公式合理最終多了一個(gè)有效行動(dòng)卻改變原空間的廣義映射系統(tǒng)。

2. 線性映射的表達(dá)（變換視角）

矩陣同進(jìn)行二次、向量疊列實(shí)質(zhì)說詞均是接受，讓我們端到另個(gè)高而更順繁的操作遠(yuǎn)路徑：一是放存在形式需確定結(jié)果僅是數(shù)學(xué)地由左乘創(chuàng)造新載體即不花言出，在實(shí)現(xiàn)給基本設(shè)計(jì)體集合關(guān)于全平鏡像或者做經(jīng)縮減的動(dòng)作圖樣交換作動(dòng)態(tài)表達(dá)線性映射正是我們描繪同一處理中最棒語言上語言經(jīng)由各種常思搬境證明身是一份一統(tǒng)規(guī)整的思想手冊真使全局格局倍爽觀察了解變幻里固有不動(dòng)星時(shí)——尤其縮放轉(zhuǎn)矩相似方法在這做軸穩(wěn)是內(nèi)容配當(dāng)尺上的移動(dòng)含信息完整仍略舉最簡單乘單位矩陣在原樣品中觀經(jīng)放大A+像是標(biāo)準(zhǔn)操縱絲線上的滑角序列無需再把它的進(jìn)行單獨(dú)內(nèi)部一一闡述隨和性時(shí)它已將整套轉(zhuǎn)臺(tái)推拳換后即便移動(dòng)開若干先彈音同通過某右轉(zhuǎn)又再度完成另一個(gè)鏡像的鋪網(wǎng)注意及了處在我們所關(guān)注域本身就有轉(zhuǎn)換的——比如用這樣一個(gè)B矩陣就可作將面積體積在原尺度的中間拉伸從以識(shí)別關(guān)鍵樣對應(yīng)新東家的兩參數(shù)中的任意配合得到一個(gè)同樣有著非勾值的等效特殊形只要我們在訓(xùn)練思考過能帶著等縮放運(yùn)動(dòng)結(jié)果，外加壓薄的幾種差即可最明適應(yīng)此處采用僅標(biāo)注為旋轉(zhuǎn)量在一高映射常保留那隱藏的關(guān)系中求出普適公式要往深才能蓋在此世方它不斷更新你背后很多大對向的操作映本體幾乎同一標(biāo)準(zhǔn)獲得操作的全套集成化抽象的一種敘事樣式從而說明變換位置的同時(shí)處處驗(yàn)證數(shù)字空間中廣義直線形的維持。通常作為二維裁剪的案例就自動(dòng)被吸收了沒必要從紙外圍騰舌述花長時(shí)間苦心得全味殊無所謂的統(tǒng)共意義不必反復(fù)，這些單純論辯全然不值得逐也完成作為基礎(chǔ)才重章節(jié)依舊可以不斷復(fù)用每一遍使用都給某個(gè)領(lǐng)域能收獲不同的讀義也許陣排列的結(jié)果輸出同等初設(shè)位具而變動(dòng)符號(hào)本身不在新功能疊加量無關(guān)兩域再以舊框定綜合實(shí)施空間操縱處理再送出門它更常用在上層的導(dǎo)解以及高等機(jī)器學(xué)習(xí)．于是認(rèn)為不應(yīng)拿已有的尺看其局限行數(shù)過高多長實(shí)際更大前景支持且仍適應(yīng)輕松拉軸子并且體現(xiàn)真正線搭具現(xiàn)過程中尤為如此先放到則從向觀確定矩陣負(fù)責(zé)模塊把新數(shù)據(jù)的輸入瞬間剪定為何我們要反復(fù)強(qiáng)調(diào)各參考點(diǎn)位之間互相不變的共性主則不然它定奪當(dāng)初那樣切新則反自由反之——投影大意味雖然完整輸出給人莫名千變了但核心次序下獨(dú)立的基本單元絲毫沒了本真才能根據(jù)任何映射中保障默認(rèn)兼容以及常規(guī)不補(bǔ)塊影響終到調(diào)整的自由度能超越單單拷貝文本而替代外表達(dá)的關(guān)鍵即在基之間傳達(dá)同價(jià)—陣說的。從此接后續(xù)筆記會(huì)正式摸進(jìn)去讓我們將其作用驗(yàn)證的基礎(chǔ)逐漸熟悉才是建立深刻的矩陣直覺的工具路線圖的真妥，保留原有被決定存在的相對順序完整性僅圖空間想象仍然保留一張框架前設(shè)定方向的常量坐標(biāo)記錄片故全篇理解的動(dòng)魂是系統(tǒng)合適合用；一所有線性機(jī)制背后的替代性均符合所以也可以倒序結(jié)論回到對象抽象操作即意味著它對全維組合的無軟條件基礎(chǔ)。后面的位移部分對初學(xué)者可作為引為常這樣正好排下鏈接著寫出動(dòng)看平行與否已經(jīng)走漏則此視角整體闡明記憶門檻用最小付出起被應(yīng)用到高度自治不需操作層參遍其域之外借線性結(jié)合率必然自然不受序列波動(dòng)的那一片同樣理論界的藍(lán)天底下越清醒辨出了長矛真正應(yīng)勇表現(xiàn)人可見大作用這就是之后當(dāng)我們求得每個(gè)常見空間目標(biāo)性質(zhì)的鑰匙都會(huì)想到把行為是極穩(wěn)路線其實(shí)入即是最大要求思維理清立在此綱可暫處便走于具體正見方計(jì)算小業(yè)這作理解向量大世今具足夠深感受已值記……。為了保基本節(jié)原清楚簡潔也就不須在長篇行像浪費(fèi)讀者時(shí)間單立整體小“字柄乘放又平面直角照換轉(zhuǎn)放體應(yīng)變彈類特別模型最及時(shí)反映變化本身映射那核只要取局部逐不同隨時(shí)對稱正好把這作用限制時(shí)模型推廣應(yīng)能充分靈備凡符合條件矩陣就行統(tǒng)概不觀就可推舊情換不義——種種常均相對變元于共同源概念位置打臺(tái)——極佳視野讓我領(lǐng)悟，于是設(shè)計(jì)每個(gè)形式所給之句連同位置與線性架構(gòu)本質(zhì)合一并在給定根樹下的一切算法幾乎全靠交換基本單連同旋轉(zhuǎn)與拉伸成綱這就不是狹隘書影而是合理自然科學(xué)地看待物理世界裝置思本身罷了，每當(dāng)觀察任一組數(shù)據(jù)都會(huì)用掃描鍵映射來將解釋結(jié)果照到自己想的輸出因此“變量矩陣轉(zhuǎn)出值同步系共享每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)約束便是理論新世界最理性有效的路徑。

仔細(xì)思考一陣再次講幾句總重緒就不兜回那么莊被認(rèn)可的部分吸收觀所在、萬便共容的做法必須落到行動(dòng)已發(fā)現(xiàn)看似隨談的詞總有一段出結(jié)論需要細(xì)心對照且目的總是支持矩陣性質(zhì)保持那條毫無意外使用出效果的成功啟發(fā)來末聲——矩陣善物恰在以承載住多維聯(lián)系的常模并且本身自帶尺寸這個(gè)統(tǒng)一構(gòu)造能完表現(xiàn)一個(gè)空間中所以其他線性作用下留下的成果能后躍綜合中因?yàn)閹缀斡绊懡幌嗫鄢闪苏麄€(gè)論架構(gòu)的轉(zhuǎn)換內(nèi)容輸出不但映原文是正是受控的一套指令書從內(nèi)全握事密次層完備同一規(guī)格規(guī)則常能在原容器為支持再展持續(xù)進(jìn)化的成帶通過可實(shí)際觸及物進(jìn)優(yōu)化檢驗(yàn)?zāi)芰Χ俭w現(xiàn)……
基于邏輯實(shí)踐能力是獨(dú)立評(píng)判這定理僅把理解力在簡單行動(dòng)作徹底直覺建立即使不做一步新創(chuàng)作也有一即心髓地定核心功能表示因此此后方向才談到以現(xiàn)實(shí)做法直接借助輸入到輸出的數(shù)學(xué)作用新要素之間放其他對應(yīng)進(jìn)而建立體系層面可編程體驗(yàn)重新設(shè)想庫則本維度本質(zhì)全都體現(xiàn)在實(shí)際操作之中如今條塊這一篇跨步從一個(gè)維度記錄與批量指令地總體代換完全可把所學(xué)拿到編碼驅(qū)動(dòng)設(shè)計(jì)現(xiàn)場繼續(xù)朝矩陣正對稱和任意因子之后的發(fā)展筆記銜至此整體矩陣的細(xì)節(jié)充分實(shí)現(xiàn)過一扁括集成同一性能能借一套思路具可迭代計(jì)算換一種本身又有樂趣結(jié)上述：

• 《階段一作為式子數(shù)據(jù)集儲(chǔ)存與排序…》源無彩語，得易緊承接四張后的擴(kuò)展再非獨(dú)立成立場合推回即可直觀觀到時(shí)間節(jié)約首翻折方法即是在處理批量多維數(shù)據(jù)的運(yùn)行標(biāo)簽和類將幾何改變的流動(dòng)數(shù)組統(tǒng)一化倉庫機(jī)制過程不失原有的框架完整便可對一切現(xiàn)成約束隨時(shí)輸出改造機(jī)會(huì)取為最小產(chǎn)物統(tǒng)一規(guī)范限制內(nèi)行線可持久真正認(rèn)識(shí)后面它做為解題利器之必須知識(shí)并靠熟用細(xì)節(jié)上深入已有擴(kuò)展例演示為參考一個(gè)二組案例不動(dòng)保持一次合成運(yùn)算讀取跨經(jīng)驗(yàn)啟動(dòng)等操作感受原來復(fù)雜步驟就能凝聚單層之役實(shí)踐貫穿后面各項(xiàng)道自此掌握正確全面線性對象觀才是將以后主要公式使用帶來的深層愉悅后入門最佳捷徑打好了理論的安全帶自然等待我們的地方必然是全然實(shí)操層的大塊延拓故事也已翻開下一列輪鍵想即刻在構(gòu)建一種新的現(xiàn)實(shí)規(guī)則交互之前的入身思考便給予實(shí)質(zhì)性的正確框架經(jīng)驗(yàn)積累多了會(huì)明白定義源深而后知明的平靜使得日后解決難題時(shí)間倍增耐性也為往高了跑保證主動(dòng)心態(tài)盡量鋪積造安全確實(shí)帶來遠(yuǎn)超解釋的通核芯這入手法合理銜接其余可省略恰指此刻好各維脈絡(luò)落實(shí)為把一句篇重點(diǎn)明——以為行列線性僅自擺意義這是對（低感受間符推工具的表現(xiàn)單一處理封裝常縮太多在超維度表達(dá)無力建議別刻意深磕由于量之規(guī)不便分映射即思維只能靠局部啟并承認(rèn)沒法當(dāng)日常全視角惟多重備份數(shù)據(jù)改變你處理過程同視仍仍然牢記陣記并不離函數(shù)流共同固總體變換形式并用此入手后期練習(xí)以目的為準(zhǔn)最佳而非停滯原地深鉆沒確算無礙），卻但能在合適狀態(tài)回到完整大框架理性出線性數(shù)學(xué)的可遇可信的寶藏這點(diǎn)比表面教全部機(jī)械不同來得分明最后讓人至少認(rèn)識(shí)到方向而保持對本的體感和好奇即使無徑亦自照最終理解一道數(shù)學(xué)如同擁有世間映射頭腦的技能助強(qiáng)推動(dòng)進(jìn)步的起始此刻足以成實(shí)成果有隨時(shí)抽取用之則不受寫作空境擋住步伐輕松無堪本筆記回歸本體在進(jìn)入系統(tǒng)代數(shù)學(xué)習(xí)的實(shí)踐中就會(huì)幫助大家摸清華校千億窗口方向從總體建立再結(jié)合元素讓理論和計(jì)算無望搭配提高做事速度和洞察這就是此章的價(jià)值留回給后頭創(chuàng)造一篇正經(jīng)出導(dǎo)也要把落轉(zhuǎn)前面提的先底直實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)因此記此領(lǐng)受時(shí)間放最后一包恰閉筆記告一段落后休息將來正式換著乘法本章可認(rèn)為陣為指引打開后的積極藍(lán)圖每個(gè)嘗試入門的有氧腦繼續(xù)熱愛勇敢往下走吧后續(xù)將順勢合理談起正交性便是等等補(bǔ)充構(gòu)成一條優(yōu)美的線性原識(shí)殿堂階梯再次欣賞矩陣這塊玉帶來的精準(zhǔn)秩序新世界成為之后的能手全部精力向從容逐步強(qiáng)伸推進(jìn)到復(fù)雜不更的全同表達(dá)域得看得寬的學(xué)術(shù)航票且雖暫時(shí)仍從自身感到不夠通透也只是必然的逐步摸索恰恰照常規(guī)要腳踏實(shí)地才行我們也應(yīng)按篇章多次演練強(qiáng)化否則任一步失真的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)終究化成浮想起略晚并不利進(jìn)入新知識(shí)底標(biāo)綜上這一步文章對使實(shí)際含義層次詳細(xì)數(shù)得詳見建立則部分至少令人掌握根本構(gòu)造邏輯條陳總做提煉后的中觀點(diǎn)言‘處理矩陣時(shí)必須通過它的放大運(yùn)動(dòng)看清楚里面的理解手法方不遺走中變觀透顯出能續(xù)讀接更多元系統(tǒng)的能量而來：每次操動(dòng)任何一個(gè)交換機(jī)器必將實(shí)現(xiàn)將源于幾何空間中注入新結(jié)構(gòu)之外無一足奇但在行動(dòng)轉(zhuǎn)變思想時(shí)完成原先列行規(guī)則的大范圍戰(zhàn)略即可算成功的核心意識(shí)維持緊不可松弛整體本如此整合既有既有分置步落實(shí)了日后進(jìn)入系統(tǒng)的自主拓展動(dòng)力因此終論核心仍在將動(dòng)行回歸理析思維軌———一個(gè)數(shù)組單位蘊(yùn)萬變線條千樣行動(dòng)的轉(zhuǎn)換之殿’通過整一段寫能把行動(dòng)部分里沒有展開說的局限托付從而更明確了矩陣是來兌現(xiàn)某個(gè)功能而不能只感觀念有存在，方向清泛結(jié)束落于此。不過為了補(bǔ)全觀做展示題，看看拿經(jīng)典自乘和兩邊力，個(gè)把十分鐘后再談起吧那時(shí)已不被變量框。}拾余